コーシーの収束法⇒ダランベールの収束法の証明を見た時にネットなどでも \( \varepsilon \)の範囲制限して下極限や上極限の議論にしていてあまり簡単にいかないと思った。 (SH)
コーシー・アダマールの収束判定法というのは， \( \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\beta \)が存在するとき， \( \beta<1 \)ならば\( \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| \)が収束， \( \beta>1 \)ならば発散するというものです。また，ダランベールの収束判定法というのは， \( \lim\limits_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\beta \)が存在するとき， \( \beta<1 \)ならば\( \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| \)が収束するというものなので，結局，\(\fbox{62}\)の結果は，ダランベールが成り立つ級数においてコーシーが成り立つことを示しているわけです。正確には，上の\( \lim\limits_{n\to\infty} \)の部分は， \( \limsup\limits_{n\to\infty} \)で成り立ちます。一般には\( \lim\limits_{n\to\infty} \)が存在するかはわからないのですが， \( \limsup\limits_{n\to\infty} \)はいつでも存在するので， \( \lim\limits_{n\to\infty} \)の存在を仮定しておくことによって問題を簡単にしておいたつもりでした。さらに，\( a_n>0 \)も仮定してあるので，絶対値を書く必要もないし，ネットにある一般のコーシー⇒ダランベールの証明よりも少し書き易くなっているはずです。

悲観的な人間なので，嫌なことばかり思い出として残ることを最近よく懊悩してしまいます。あまつさえ人と関わらないので，いずれ上映される走馬灯が道端で絡んできた年寄りたちの総ざらいになるかも…というのが一番の悩みです。 (The Whiteness of The Whale)
走馬灯なんてものが実際にあるかどうかはともかく，道端で年寄りに絡まれるなんていう経験があることが驚きです。人と関わらないようにしているならなおさら。

日比野のホームページへポスト日比野雄嗣 hibinoy@cc.saga-u.ac.jp