授業中にも言いましたが，回転体の体積は数IIIレベルですから， \( \displaystyle\pi\int_1^{\sqrt3}\frac{dx}{1+x^2} \) まではみんな出来ていました。
さて，ここからの計算ですが， \( \dfrac{1}{2x}\log(1+x^2) \)などは『NG解答』です。合成関数の微分「微分して，中身の微分を掛ける」の逆だと思って，「積分して，中身の微分で割る」としてしまうのは，一発レッドカードにも相当する誤解答です。 (逆に微分して元に戻らないことを確認してください。) そんな人が5人もいましたので，まずは積分の基本から復習が必要です。
しかし，上の解答のように\( \arctan \)を使えたのは16人だけで， \( x=\tan t \)と置換した人が11人もいました。この人たちは高校ではよく勉強したのだろうに，大学では勉強してないようです。確かにこの問題では定積分なのでこれで解けますが，不定積分\( \displaystyle\int\frac{dx}{1+x^2} \)では \( x=\tan t \)と置換しても， \( \displaystyle\int \dfrac{1}{1+\tan^2t}\dfrac{dt}{\cos^2t}=\int dt=t \) となるだけですから，数IIIでは\( \dfrac{1}{1+x^2} \)は，『定積分できるが不定積分できない』という中途半端な扱いです。実際は\( x=\tan t \)から\( t=\arctan x \)で，結局\( \arctan \)に戻ります。
だから最初から，解答のように\( \arctan \)の公式を使って解けばいいのですが， \( \arctan\sqrt3 \)が\( \pi/3 \)になることがわからなかったら画竜点睛を欠きます。でも，置換積分の解法で解いて\( \tan t=\sqrt3 \)から\( t=\pi/3 \)が分からない人は一人もいませんでした。同じことなのに。
逆三角関数は大学で初めて登場したものなので，そこが難しく感じるかもしれませんが，これはただ新しい関数を定義しただけですから，関する公式 \[ (\arctan x)'=\frac{1}{x^2+1} \] \[ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \] と\( \arctan\sqrt3=\pi/3 \)などの数値計算さえできればとりあえず大丈夫です。

区分求積法がよく分かりません。
公式を暗記して適用しようとしても難しいです。意味を理解して，短冊の横幅と和の数を数えて考えるようにしましょう。

微分方程式でますか? 逆関数の微分は出ますか?
これは講義の試験の話だと思いますが，微分方程式は出ません。逆関数の微分は出ます。ついでに言うと，今日やった広義積分も出ます。

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