3.2(12)の問題は問題文に示されているように，置換積分を利用して解くことが前提なので，仮に直接答えを出せたとしても，黒板にあるやり方が出題者の意にそっていて正しいと思います。
なるほど，確かにこれは3.2の置換積分の問題だった。出題者(つまり僕です)は，「\( x^2 \)を置換すると微分した\( x \)が先に掛かっている！」と思って，置換積分の問題と即断したんですね。でも，それをしたとしても，本質的には部分積分の問題でした。

高校の先生が部分積分を教えず『\( (x\sin2x)'=\sin2x+x\cos2x \)を利用して \( \int x\cos2xdx \)を解け!』と教えていたんですが，正しいのですか?
\( (x\sin2x)'=\sin2x+2x\cos2x \)ですから，もう少し難しいですけど，別に間違ってはいません。 \( \int x\cos2xdx \)を見て\( (x\sin2x)' \)を利用するということが，まさに部分積分です。もし，\( \int x\log xdx \)だったら\( (x^2\log x)' \)を利用するということでしょ。 \( \cos \)か\( \log \)かで\( x \)か\( x^2 \)かが異なるわけですが，そこがポイントです。

\( \arcsin \)のあたりの問題がよくわからなくなってきました。
\( (\log x)'=1/x \)や\( (\sin x)'=\cos x \)などと同じように， \( (\arcsin x)'=1/\sqrt{1-x^2} \)という公式を暗記して使えばいいので， \( \log \)や\( \sin \)の問題と特に違いはありません。

毎回回答ごちゃごちゃになります。いいかんじに省いて読みやすくするためにはどうすればいいですか。
省いたら分かりにくくなります。省かなくてごちゃごちゃしないように書くことを練習した方がよいです。行間に余裕をもって，平行に式を並べましょう。

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