\( f(x) \)，\( g(x) \)が\( x=a \)で連続のとき，教科書には「\( pf(x)+qg(x) \)も\( x=a \)で連続である」と書いてありました。加法でこれが成り立つならば， \( pf(x)-qg(x) \)も成り立ちますか。また，\( pf(x)g(x) \)は\( x=a \)で連続ではない理由が気になりました。 ()
「\( pf(x)+qg(x) \)が\( x=a \)で連続である」というときの\( q \)は実数なので，\( -q \)も実数。よって，\( q \)のところを\( -q \)としてもよいので「\( pf(x)-qg(x) \)も\( x=a \)で連続である」が成り立ちます。また，\( pf(x)g(x) \)が連続でないわけではなく， (2)より\( f(x)g(x) \)が連続であることから， (1)で\( f(x) \)のところを\( f(x)g(x) \)としてよくて，さらに\( q=0 \)とすれば， \( pf(x)g(x) \)が連続であることが言えます。

\[\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-r}, \quad|r|<1?\] \[S_n=\sum_{k=1}^nar^{k-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r},\quad r\neq1\] ()
なにが？なのかわからないけど， \( |r|<1 \)以外のときは \( \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r} \)は発散するので， \( |r|<1 \)のとき(だけ)，\( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-r} \)です。

\( \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha \)とおくと \( \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\alpha \)となることがわかりません。 ()
\( \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha \)というのは， \( a_1,a_2,a_3,\dots \)とした極限が\( \alpha \)ということで， \( \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} \)というのは \( a_2,a_3,a_4,\dots \)とした極限のことなので，当然，\( \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\alpha \) となります。

p.2問1(2)のこたえください。 ()
問1(2)の答えは，p.163に詳しく書いてあります。

\( (1+\frac1n)^n \)が収束する証明のだんだん数を大きくしてって定数の上界を作るのが面白かったです。 ()
上に有界を示すときは\( n!=n\cdot (n-1) \cdots 4\cdot3\cdot2\cdot1 \) を\( 2\cdot 2 \cdots 2\cdot2\cdot2\cdot1=2^{n-1} \) に置き換えて大きく(分母を小さく)しています。単調増加の証明の方が，少しずつ形を変えて大きくしていっているので，「だんだん」という感じですね。

定期テストはどういう問題の形式ですか。 ()
普通に計算するような問題です。過去問が僕のHPに掲載してあるので，それを参考にしてください。

試験には，どんなレベルの問題がでますか。 ()
非常に易しい…と僕は思っているけど，君たちがどう感じるかはわかりません。

だんだん思い出してきました。章末の演習で固めます。 ()
章末の演習問題もそこそこ難しいので， [A]だけ解けば十分です。

とても楽しかったです。 (ぼっち)
それはよかった。先週の単元は，理論的には重要だけれど，こういうことは試験には出さないので，どこまで丁寧に説明するべきか迷いました。

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