$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{\alpha}}<1+\int_1^\infty\frac{dx}{x^\alpha} \text{($ \alpha>1 $のとき)}$$ の$ 1 $は何か。
$ \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) $の意味が分からなかった。 ()
グラフの下になるように，右から値をとって短冊を作っているので， $ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n^{\alpha}}<\int_1^\infty\frac{dx}{x^\alpha} $ が成り立ちます。だから，$ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{\alpha}} $ に合わせて，$ 1 $を右辺に加えました。
$ \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) $の意味ってそのままの意味ですけど，何を訊かれているのか分かりません。 $ \Gamma(5)=4\Gamma(4) $であり$ \Gamma(4)=3\Gamma(3) $ってことで，それを使って，$ \Gamma(n)=(n-1)! $が示せます。

問題2.4(3)の定義域の求め方が分からないです。 ()
$ \tanh^{-1}x $の定義域は， $ \tanh x $の値域なので， $ -\infty<x<\infty $のとき$ \tanh x $の取りうる値の範囲を求めればよいです。 $ \tanh x $の微分を計算すると$ \tanh x $が単調増加であることが分かるので， $ \tanh x $の$ x\to\pm\infty $の極限を調べればいいです。 \[ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=1 \] \[ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=-1 \] から$ -1<\tanh x<1 $とわかります。

問題3.1(14)と問題3.3(8)の解説おねがいします。 ()
問題3.1(14)は先週も質問されて「前々回のこの欄で解説しました」と答えました。
問題3.3(8)は有理関数なので，まず分母を因数分解します。 \[ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \] $ x^2+x+1=0 $は虚数解を持つので， $$%\frac{1}{x^3-1}= \frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$$ と部分分数に分解できます。これより$ A=\frac13 $，$ B=-\frac13 $，$ C=-\frac23 $と分かるので，それぞれを積分すればいいです。 $ \displaystyle\int\dfrac{\frac13}{x-1}dx=\frac13\log|x-1| $と $ \displaystyle\int\dfrac{-\frac16(2x+1)}{x^2+x+1}dx=-\frac16\log(x^2+x+1) $は易しいでしょう。残りの$ \displaystyle\int\dfrac{-\frac12}{x^2+x+1}dx $はそこそこ難しいですが，問題3.3(5)と同様で，これは6月27日のこの欄で解説しました。
この欄の過去ログは僕のHPに載っているので，休んだりしてこの紙をもらってない人はそちらを見てください。

\[ \lim_{x\to0}\frac1x\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{\log (x+1)}{x}\right) \] の極限の求め方を教えて下さい。 ()
まず通分すると $ \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x-(x+1)\log(x+1)}{x^2(x+1)} $ となり，$ x\to0 $としてみると，$ \frac00 $の不定形と分かります。よってロピタルの定理を使うと， $ \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\log(x+1)-1}{3x^2+2x}=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{-\log(x+1)}{3x^2+2x} $ となりますが，これも$ \frac00 $の不定形です。さらにロピタルの定理を使うと， $ \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{-\frac{1}{x+1}}{6x+2} $ となり，極限値$ -\frac12 $がわかります。

テスト頑張りたいです。 ()
上の問題は去年の試験問題ですが，これくらいは解けてほしいです。来週のテスト頑張ってください。

以前の授業で，学生証を機械にかざし忘れてしまっていました。出席カードは提出していましたが，これはちゃんと出席扱いになっているでしょうか。 ()
出欠は出席カードでつけているので，ちゃんと出席扱いになっていますよ。

今日の授業はいつもより高校じゃ習わない事が多くて楽しかったです。おもしろいムダ話をもっと聞きたいです。 ()
ムダじゃないけど，後半は少しレベルが高い話になってきましたね。お話として楽しんでくれればいいです。

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