問題2.5の(1)から解き方が分かりません。教えて下さい。 ()
こういう極限の問題は工夫して解けることもありますが，今や，(不定形であることを確認して)ロピタルを使えば，どれも簡単に解けます。計算は簡単でないこともあるかもしれないけどワンパターンです。問題2.5(1)は以下のようになります。
$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\frac12x^{-1/2}}{\frac13x^{-2/3}}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac32x^{1/6}=\dfrac32$

問題3.1(14)と問題3.3(6)の解説をお願いします。 ()
問題3.1(14)は部分積分の基本パターンです。 $$\displaystyle \int x\log|2x+1|dx =\int (\frac12 x^2)'\log|2x+1|dx =\frac12 x^2\log|2x+1|-\int \frac12 x^2\frac{2}{2x+1}dx $$ となって，ここで第2項の積分は有理関数の積分なので， $$\displaystyle \int \frac{x^2}{2x+1}dx =\int\left(\frac{x}{2}-\frac14\right)dx+\frac14\int\frac{dx}{2x+1} =\frac{x^2}{4}-\frac{x}{4}+\frac1{8}\log|2x+1| $$ とできます。あとは整理するだけです。
問題3.3(6)は分母が虚数解をもつ場合なので， $$\displaystyle \int\dfrac{dx}{9x^2+12x+5} =\int\dfrac{dx}{(3x+2)^2+1} $$ と分母を平方完成して，$ 3x+2=t $と置換すれば， $ \displaystyle\int\dfrac{\frac13dt}{t^2+1}=\frac13\arctan t=\frac13\arctan(3x+2) $ となります。

問題3.3(5)の解説と，問題1.7,1.8のこたえが略してあったのでこたえをおしえてください。 ()
問題3.3(5)も分母が虚数解をもつ場合なので，3.3(6)と同様です。 $$\displaystyle \int\dfrac{dx}{x^2+x+1} =\int\dfrac{dx}{(x+\frac12)^2+\frac34} =\frac{1}{\frac34}\int\dfrac{dx}{(\frac{2}{\sqrt3}x+\frac1{\sqrt3})^2+1} $$ と分母を変形して，$ \frac{2}{\sqrt3}x+\frac1{\sqrt3}=t $と置換すれば， $ \displaystyle\frac43\int\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}dt}{t^2+1}=\frac{2\sqrt3}3\arctan t=\frac{2\sqrt3}3\arctan(\frac{2}{\sqrt3}x+\frac1{\sqrt3}) $ となります。
問題1.7,1.8は証明問題です。1.7は巻末のヒントの通り。 1.8は定義式を代入して計算するだけです。どこが分からないか具体的に書いてください。

$$ \displaystyle\int\frac{x^2+a-a}{\sqrt{x^2+a}}dx=\int\sqrt{x^2+a}\,dx-a\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}dx $$ という変形が分からなくなりました。 ()
$$\displaystyle \int\frac{x^2+a-a}{\sqrt{x^2+a}}dx =\int\frac{x^2+a}{\sqrt{x^2+a}}dx-\int\frac{a}{\sqrt{x^2+a}}dx =\int\sqrt{x^2+a}\,dx-a\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}dx $$ です。第1項は$ x^2+a $を$ \frac12 $個約分してるって感じですかね。

高校の時に，定積分の置換で， $ x=a\sin\theta $や$ x=a\tan\theta $とおいて計算したことがありましたが，今日習った問題でこの方法は使えないんですか? ()
高校で $ x=a\sin\theta $と置換するのは $ \displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} $の場合で， $ x=a\tan\theta $と置換するのは $ \displaystyle\int\dfrac{dx}{a^2+x^2} $の場合です。これらは，大学では逆三角関数を使ってそれぞれ， $ \arcsin\frac{x}{a} $, $ \frac1a\arctan\frac{x}{a} $と公式ですぐに答えられます（教科書159ページを参照してください）。 $ x=a\sin\theta $は$ \theta=\arcsin\frac{x}{a} $だし， $ x=a\tan\theta $は$ \theta=\arctan\frac{x}{a} $だから，要するに同じことです。

テストって，教科書すべてから出るんですか? 難しい式のところはでないとか言っていたので，どこがでるのかでないのか分かりません。(汗) ()
一応，教科書の習ったところまでが試験範囲ですが，難しすぎるので出ないところもあるし，本当は出題したいのに問題数の関係で出ないものもあります。どこが出るかをはっきり言うことはできません。「○○って難しいですよね」とか，ここに書いてくれれば，「○○は確かに難しいので分からなくても構いません」とか「○○は重要なのでぜひ理解してほしいです」とかリアクションしますので，それで出るか出ないか判断してください。

高校で習った内容で，何とかついていけて良かった。 ()
この授業は，高校で数IIIをやった人とやってない人との差を埋めるためにあります。だから，やった人にとっては復習程度で何とかなります。

$ \tan\frac{\theta}{2}=t $のとき， $ \cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2} $， $ \sin\theta=\frac{2t}{1+t^2} $という式の図形で見るやつが好きです。 ()
この置換は上半平面のポワンカレ計量と関係があるらしいです。

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