演習問題[A]問題1.3(2)の解き方を教えてください。 ()
これは基本問題で，(i)上に有界と(ii)単調増加を示せばよいです。 (i)は\( a_n\le2 \)を数学的帰納法で示します。 \( a_k\le2 \)と仮定して\( a_{k+1}=\sqrt{a_k+1}\le\sqrt{2+1}\le2 \)を利用します。 (ii)も数学的帰納法で\( a_{k+1}-a_{k}\ge0 \)を仮定して， \( a_{k+2}-a_{k+1} \)を計算して分子の有理化を使えばいいです。 (i)(ii)より\( a_n \)が収束することが分かるので，その値を\( \alpha \)として与漸化式から\( \alpha=\sqrt{\alpha+1} \)を解いて\( \alpha \)を求めます。

演習問題1.3(3)(4)の説明をお願いします。 ()
(3)は難しげに見えますが，(2)とほぼ同じです。 (i)\( a_n\le2 \)を数学的帰納法で示します。 \( a_k\le2 \)と仮定すると \( a_{k+1}=(\sqrt{2})^{a_k}\le(\sqrt{2})^2=2 \)となることを利用します。 (ii)も数学的帰納法が分かりやすいでしょう。 \( a_k\le a_{k+1} \)と仮定すると\( a_{k+1}=(\sqrt{2})^{a_{k}}\le(\sqrt{2})^{a_{k+1}}=a_{k+2} \)となることを利用します。その後も同様です。

演習問題1.3(4)の解説がほしいです。 ()
(4)は難しいです。結論を言うと極限値は存在しないので，存在すると仮定して矛盾を導きます。背理法です。極限値\( \alpha \)が存在するとすると， \( \alpha=(\sqrt3)^\alpha \)が成り立つはずですが，これを満たす\( \alpha \)がないことを言えばいいです。この先も長いので，ここの補遺を見てください。

p.56問題2.9(3)とp.97問題3.1(12)の解説がほしいです。 ()
2.9(3)は \( \displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \) より， \( \displaystyle x\sin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n} \) なので，これと公式\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} \)を係数比較すればいいです。Σを使わないで書いた方が分かりやすいかも。 3.1(12)は部分積分の超基本問題です。 \( \int x(e^x)'dx \)と考えて部分積分を適用します。

\( \dfrac{1}{x^2(x^2+1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1}+\dfrac{Ex+F}{(x^2+1)^2} \) と分解するときに，分母がどうやって決められるかがわかりません。 ()
これはぜひとも理解しなければなりません。分母の因数分解の項に合わせて決められます。 \( x^2 \)があるので \( \dfrac{A}{x} \)と\( \dfrac{B}{x^2} \)が， \( (x^2+1)^2 \)があるので \( \dfrac{Cx+D}{x^2+1} \)と\( \dfrac{Ex+F}{(x^2+1)^2} \)がつきます。

例3.3(1) \( \dfrac{3x^2}{(x+1)^2(x^2-x+1)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}+\dfrac{Cx}{x^2-x+1}+\dfrac{D}{x^2-x+1} \)の最後のところが分かりません。 ()
これは最初だったから丁寧に\( \dfrac{Cx}{x^2-x+1} \)と\( \dfrac{D}{x^2-x+1} \) を分けて書いただけです。第3項と第4項を合わせて \( \dfrac{Cx+D}{x^2-x+1} \)と書いた方が分かりやすいでしょう。

例題3.4の\( \displaystyle\int\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2} dx\)が \( \displaystyle\int\dfrac{x}{-2}\left(\dfrac{1}{x^2+1}\right)'dx \)となるのがわかりません。 ()
逆に\( \left(\dfrac{1}{x^2+1}\right)' \)を計算してみれば， \( \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2} \)となることが分かるので，それを使いました。

p.64の(B-2)の\( I_n \)からの計算がよく分かりません。 ()
上の部分積分を用いています。それで\( I_{n-1} \)に帰着されるので，これを繰り返せば\( I_1 \)に帰着できます。授業ではここまでやりませんでしたが。

\( \cosh x \)や\( \sinh x \)がでてくる例題や演習問題もテスト対策としてしなきゃですか? 正直全くとけなくて分からないです…。 ()
\( \cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \)， \( \sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2} \)なので，これらは単に指数関数の和や差にすぎません。最初にこうしておけば，特に目新しいことはありません。

教科書の問題全部わからないです。 ()
それはマズイ。もういっそ数IIIからやり直した方がいいと思います。

有理関数の不定積分はとても複雑だと思った。 ()
面倒ではありますが，パターンが確立しているので，冷静にやればなんとかなります。

\( \arctan \)は積分するのにとても便利だった。高校で教えちゃってもいいと思う。 ()
\( \displaystyle\int\frac{dx}{1+x^2} \)は高校では， \( x=\tan t \)と置換するして計算するのだと習います。つまり，\( t=\arctan x \)なんですね。

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