問題2.9がまったくわからず，力不足を感じています。
問題2.9は鬼門のようで，板書を見ていても 妙に間違いが多いですね。 これは，テイラーの公式を逆に使う例です。 \(e^x\)や三角関数など既知のテイラー展開を利用して， \(f(x)\)のテイラー展開を(「微分して0を代入」をせずに!)求めておきます。 テイラー展開\(f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\) の一意性により， これと係数比較して，\(f^{(n)}(0)\)が決まる，という流れです。 係数比較の際に， 偶数奇数で式が分かれるのに注意しなければならない場合もあります。 でも，とりわけ重要な問題というわけではありません。
\(\displaystyle\int\{f(x)\}^nf'(x)dx=\frac{1}{n+1}\{f(x)\}^{n+1}\) と \(\displaystyle\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|\) は先生の中で公式ですか?
置換積分せずに変形できるという意味では 公式として使っているといえるのかもしれないけど， これに限らず，\(f'(x)dx\)の形が見えれば， 「\(t=f(x)\)と置換すると」などと書かなくても，慣れれば いきなり変形できます。
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