期末テストはいつですか?
来年2月12日を予定しています。

全微分で出てきたo(√{h²+k²})の中は平面上の距離? 理解まであと一歩壁がある感じです。
そうです。 {f(a+h,b+k)-f(a,b)}/{√(h²+k²)} と考えれば納得できるでしょう。

偏微分計算は簡単だけど，偏微分可能性とか連続性がちょっと難しい。
偏微分可能性は一変数の微分可能性と同じですから，大したことはありません。連続性は難しいですが，上記の問題のようなことができればとりあえず大丈夫です。計算は偏微分計算で済むので，なんとかなるでしょう。