この問題の解説をお願いします。
上には教科書に倣って，『面倒だが最も一般的な解き方』を書きましたが，今の場合例えば，g(x,y)=0が楕円であることを利用して解くこともできます。 (候補点を求めた後，) f(0,±√2)=(±√2-1)²>0, f(±1/√2,1)=0に注意して, 楕円g(x,y)=0上を(1,0)から反時計回りに, f(x,y)の値を見ていくと, まず(1/√2,1)で0になり, (0,√2)で正の値, (-1/√2,1)で再び0になり, (0,-√2)で正の値をとって元に戻ることが分かります。これら以外に極値の候補はないのだから, (x,y)=(±1/√2,1)で極小になり, (x,y)=(0,±√2)では極大となることがこれだけで簡単にわかります。

曲線の図など，面積を求めるときには想像力がないと大変困難です…。
空間図形の様子がイメージできれば問題を簡単に解くこともできます。例えば，上の問題で， z=f(x,y)のグラフがy-z平面に描かれた放物線z=(y-1)² をx軸方向に平行移動させた軌跡であることが理解できれば，直線y=1上で最小値0を取ることと， g(x,y)=0は原点を中心にした楕円であることから, (x,y)=(±1/√2,1)は極小値を与え, (x,y)=(0,±√2)では極大となることがすぐわかります。

早くおわったら2重積分はんいDやEとx=φ(u,v),y=ψ(u,v)の見つけ方のコツなんぞ教えて下さい。
万能なコツがあるわけではないので，講義ではなく，演習の授業で練習を積むしかないと思います。

懸賞金の問題で，先生が解けそうな問題はありますか。
さすがにそれはないな。

この前亡くなった数学者の伊藤さんてすごい人なんですか?
そりゃあもう，すごい人です。『ウォールストリートで最も有名な日本人』といわれているけど，純粋数学者で，金融関係の人ではありません。彼の研究した確率微分方程式の理論があまりにすごいので, 日本の確率論研究者の多くは確率微分方程式の研究者になってしまっています。ちなみに，伊藤清は享年93歳でしたが，高名な数学者の多くは長命です。または，ガロアやリーマンやアーベルのように非常に短命かどちらかです。

どこからが浮気と思いますか? 私は，漢字通り，``浮ついた気持ち" つまり下心がでたら，アウトだと思うんですが…。
古来からよく問われるこの問いに関して，僕は最近答えを得たので，今ここでそれを発表しよう!
『パートナーに言えないことをしたなら浮気』
パートナーに話せるならSEXしても浮気ではないし，パートナーに言えないなら話をしただけでも浮気。

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