\begin{eqnarray*} 0\le |a-a'|&= &|a-a_n+a_n-a'|\\ &\le&|a-a_n|+|a_n-a'|\\ &< &\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon \end{eqnarray*} これから, どうして$ |a-a'|=0 $が導けるのですか? (TTT)
最初と最後を取り出してみると, $$ 0\le |a-a'|<2\varepsilon $$ となっていますが, $ \varepsilon $は任意の正数なので, $ |a-a'| $はどんな正数よりも小さい. でも, $ |a-a'| $は負ではないので, $ |a-a'|=0 $が導かれます.

最後の方の説明がよく分からなかった. (SUN)
『最後の方』がどれを指すのか, 明確ではありませんが, 教科書の例5のことであれば, $ n=1,2,3,\dots $と自分で代入してみてください. 例3のことであれば, 今日やる例6が同じようなものなので, これを聴いてそれでも分からないときはその場で訊いてください.

記号はなんとなく覚えてきたけど, 証明の内容が難しい. (みーくん)
記号は, 数学語のアルファベットです. これを知らないと, そもそも話が通じないし, 考えることもできません. 僕はキリル文字を知らないので, ロシア語の辞書を引くこともできませんが, それでは, ロシア文学を(原語で)読むことなんかできるわけないですよね. 英語は, 辞書を引きながら英文学を原語で読むことはできますが, それと, 内容を理解し鑑賞するのは, また別問題です. 数学記号を覚えたといっても, 証明の内容を理解するのには, 別次元の更なる努力が必要なのです.

定義は暗記するのですか? (遼)
『暗記』の意味が, 『理解して記憶すること』の意味であればYES, 『理解せず丸暗記すること』の意味であればNOです. 定義とは, そう名づけた, というだけのことなので, 何かから演繹的に導かれるものではありません. だから, そのように憶えるしかないのは事実です. しかし, 例えば, 「$ \lim_{n\to\infty}a_n=a $」の定義は高校で, 「$ n $が限りなく大きくなっていくとき, $ a_n $が限りなく$ a $に近づく」と教わったと思いますが, そのことを『暗記』したのでしょうか. その前にはそのことを知らなくてそのときにそれを習ったので, 教わったときに『記憶した』とは言えますが, 『丸暗記した』というのではないですよね. 「$ \forall \varepsilon>0, \exists N\in \mathbb{N}, n>N \Longrightarrow |a_n-a|<\varepsilon $」という大学での定義も丸暗記するのではなく, 理解して憶えるようにしてください.

今日のところは難しかったです. (友樹)
$ \varepsilon $ 論法が難しいというのは, みんなが言うことです. しかし, これを習うのは, 数学関連学科だけなので, 数理科学科の学生としては, 今すぐにマスターするのは無理でも, 少なくとも卒業までにはマスターして欲しいものです.

微積分に関するもので, オススメの本はありますか. (孝文)
微積分に関しては, 大量の教科書が出版されていますので, 図書館で探せばいくらでも見つかると思いますが, 特に, 数学テクニックではなくて, その考え方を書いた本として, 遠山啓著「微分と積分---その思想と方法」(日本評論社)\\ を薦めておきます. $ \varepsilon $ 論法に関しては, 細井勉著「わかるイプシロン・デルタ」(日本評論社)\\ も挙げておきます.

証明のやり方にまだ違和感がある. (達也)
違和感なんていうものは, そのうちに慣れてくるもの. 証明も慣れてくると, こういうのが気持ち良くなってきます.

バレーのオリンピック最終予選がはじまります. 応援して下さい. (主人公)
バレーは去年のワールドカップでひどい成績だったので, アテネに行けないのかと思っていました. まだチャンスがあるとは, 結構甘いものですね. しかも, その最終予選がホームの日本で行われるとは, 日本のバレー界は資金が潤沢なのかな? 今のところは, 女子4連勝で, 明日勝てば五輪出場決定ですね.

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